概率统计 专项训练-2020-2021学年高一下学期数学复习

概率统计

1．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P（X＝4）＜P（X＝6），则p＝（　　）

A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3

2．已知随机变量η满足E（1﹣η）＝5，D（1﹣η）＝5，则下列说确的是（　　）

A．E（η）＝﹣5，D（η）＝5 B．E（η）＝﹣4，D（η）＝﹣4

C．E（η）＝﹣5，D（η）＝﹣5 D．E（η）＝﹣4，D（η）＝5

3．已知随机变量X的取值为0，1，2，若P（X＝0）＝，E（X）＝1，则D（X）＝（　　）

A． B． C． D．

4．某大学毕业生参加2013年教师资格考试，他必须先参加四场不同科目的计算机考试并全部过关（若仅有一科不过关则该科有一次补考的机会），然后才能参加教育学考试，过关后就可以获得教师资格，该大学毕业生参加每场考试过关的概率均为，每场考试费用为100元，则他花掉500元考试费的概率是（　　）

A． B． C． D．

5．某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，超过2年的概率为0.3，则某使用寿命超过1年的元件还能继续使用1年的概率为（　　）

A．0.9 B．0.6 C．0.5 D．0.3

6．通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定发报机只发0和1两种信号，接收时发生错误是0收为1或1收为0的概率都是0.05，为减少错误，采取每一种信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为（　　）

A．0.002375 B．0.007125 C．0.00725 D．0.0025

7．某人射击的命中率为0.6，则他射击8枪中有5枪命中，且有且仅有4枪连在一起的概率为（　　）

A．C₈⁵×0.6⁵×0.4³          B．C₄²×0.6⁵×0.4³       C．0.6⁵×0.4³    D．A₄²×0.6⁵×0.4³

8．一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n次终止的概率是（n＝1，2，3，…）．记X为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，则P（X≤10）＝（　　）

A． B． C． D．以上均不对

9．李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如表：

x	1	2	3
P（ξ＝x）	！	？	！

请小王同学计算ξ的数学期望．尽管“？”处完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同．据此，小王给出了Eξ的正确答案为（　　）

A． B．2 C．7 D．

10．设某地区历史上从某次特大洪水发生以后，在30年内发生特大洪水的概率是0.8，在40年内发生特大洪水的概率是0.85．现该地区已无特大洪水过去了30年，在未来10年内该地区将发生特大洪水的概率是（　　）

A．0.25 B．0.30 C．0.35 D．0.40

11．设随机变量X∽N（1，σ²），其正态分布密度曲线如图所示，且P（X＞2）＝0.027，那么向正方形OABC中随机投掷1000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（　　）

 

A．473 B．527 C．554 D．628

12．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是　　．

 

13．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立．则甲队获胜的概率为　　．

14．一口袋内装有5个黄球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数ξ是一个随机变量，则P（ξ＝12）＝　　．（填算式）

 

15．已知抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量X＝“|a﹣b|的取值”，则X的均值E(X)为　　．

16．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B．则P（A|B）的值是　　．

 

 

17．盒子里装有6件包装完全相同的产品，已知其中有2件次品，其余4件是合格品．为了找到2件次品，只好将盒子里的这些产品包装随机打开检查，直到两件次品被全部检查或推断出来为止．

（1）求经过3次品检查才将两件次品检查出来的概率；

（2）求两件次品被全部检查或推断出来所需检查次数恰为4次的概率．

 

 

 

 

 

18．某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测评，该班的A、B两个小组所有同学所得分数（百分制）的茎叶图如图所示，其中B组一同学的分数已被污损，但知道B组学生的平均分比A组学生的平均分高1分．

（Ⅰ）若在A，B两组学生中各随机选1人，求其得分均超过86分的概率；

（Ⅱ）若校团委会在该班A，B两组学生得分超过80分的同学中随机挑选3人参加下一轮的参观学习活动，设B组中得分超过85分的同学被选中的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，

方案一：每满200元减50元：

方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）

红球个数	3	2	1	0
实际付款	半价	7折	8折	原价

（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；

（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20．某销售公司在当地A、B两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收．现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了A，B两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：

销售件数	8	9	10	11
频数	20	40	20	20

以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记X表示这两家超市毎日共销售食品件数，n表示销售公司每日共需购进食品的件数．

（Ⅰ）求X的分布列；

（Ⅱ）以销售食品利润的期望为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21．如图，李先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L₁、L₂两条路线，L₁路线上有A₁、A₂、A₃三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L₂路线上有B₁、B₂两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．

（1）若走L₁路线，求最多遇到1次红灯的概率；

（2）若走L₂路线，求遇到红灯次数X的数学期望；

（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22．某农科所培育一种新型水稻品种，首批培育幼苗2000株，株长均介于185mm～235mm，从中随机抽取100株对株长进行统计分析，得到如下频率分布直方图．

（Ⅰ）求样本平均株长和样本方差s²

（同一组数据用该区间的中点值代替）；

（Ⅱ）假设幼苗的株长X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数，σ²近似为样本方差s²，试估计2000株幼苗的株长位于区间（201，219）的株数；

（Ⅲ）在第（Ⅱ）问的条件下，选取株长在区间（201，219）内的幼苗进入育种试验阶段，若每株幼苗开花的概率为，开花后结穗的概率为．设最终结穗的幼苗株数为ξ，求ξ的数学期望．

附：；若X～N（μ，σ²），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.683；P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.954；P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.997

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

概率统计答案解析

1．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P（X＝4）＜P（X＝6），则p＝（　　）

A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3

【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足X～B（10，p），

P（x＝4）＜P（X＝6），可得，可得1﹣2p＜0．即p．

因为DX＝2.4，可得10p（1﹣p）＝2.4，解得p＝0.6或p＝0.4（舍去）．  故选：B．

【点评】本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法，独立重复事件的应用，考查转化思想以及计算能力．

2．已知随机变量η满足E（1﹣η）＝5，D（1﹣η）＝5，则下列说确的是（　　）

A．E（η）＝﹣5，D（η）＝5 B．E（η）＝﹣4，D（η）＝﹣4

C．E（η）＝﹣5，D（η）＝﹣5 D．E（η）＝﹣4，D（η）＝5

【解答】解：∵随机变量η满足E（1﹣η）＝5，D（1﹣η）＝5，

∴1﹣Eη＝5，Dη＝5，

解得Eη＝﹣4，Dη＝5，    故选：D．

【点评】本题考查了期望与方差的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3．已知随机变量X的取值为0，1，2，若P（X＝0）＝，EX＝1，则DX＝（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：设P（X＝1）＝p，P（X＝2）＝q，因为E（X）＝0×①

又p+q＝，②

由①②得，p＝，q＝，

∴D（X）＝，     故选：A．

【点评】本题主要考查随机变量的期望值的逆向求法和方差的求法，属于中档题型．

4．某大学毕业生参加2013年教师资格考试，他必须先参加四场不同科目的计算机考试并全部过关（若仅有一科不过关则该科有一次补考的机会），然后才能参加教育学考试，过关后就可以获得教师资格，该大学毕业生参加每场考试过关的概率均为，每场考试费用为100元，则他花掉500元考试费的概率是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：若他四科计算机考试全部通过，并参加了教育考试，则他一定花费500元，

概率为×××＝．

若他四科计算机考试有一科补考，且补考也没有通过，则他一定花费500元，

概率为••（1﹣）＝．

综上，他+＝，     故选：A．

【点评】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望，同时考查了计算能力，属于中档题．

5．某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，超过2年的概率为0.3，则某使用寿命超过1年的元件还能继续使用1年的概率为（　　）

A．0.9 B．0.6 C．0.5 D．0.3

【解答】解：由于元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，超过2年的概率为0.3，

则某使用寿命超过1年的元件还能继续使用1年的概率为，   故选：C．

【点评】本题主要考查条件概率的计算公式P（B|A）＝的应用，属于中档题．

6．通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定发报机只发0和1两种信号，接收时发生错误是0收为1或1收为0的概率都是0.05，为减少错误，采取每一种信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为（　　）

A．0.002375 B．0.007125 C．0.00725 D．0.0025

【解答】解：得到正确信号的概率有两种情形，一种情形是三次正确，概率为

另一种情形是两次正确，一次不正确，概率为

∴判错一个信号的概率为1﹣＝＝0.00725     故选：C．

【点评】本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及对立事件等有关知识，属于中档题．

7．某人射击的命中率为0.6，则他射击8枪中有5枪命中，且有且仅有4枪连在一起的概率为（　　）

A．C₈⁵×0.6⁵×0.4³ B．C₄²×0.6⁵×0.4³

C．0.6⁵×0.4³ D．A₄²×0.6⁵×0.4³

【解答】解：将4枪连在一起看成一个整体，3枪未中有4个空，从中选两个空插入命中的有A₄²种

故他射击8枪中有5枪命中，且有且仅有4枪连在一起的概率为A₄²×0.6⁵×0.4³      故选：D．

【点评】本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及排列组合的知识，属于中档题．

8．一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n次终止的概率是（n＝1，2，3，…）．记X为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，则P（X≤10）＝（　　）

A． B． C． D．以上均不对

【解答】解：依题意设分裂n次终止的概率是 ，

∴原物体在分裂终止后所生成的子块数目X的分布列为：

P（X）＝，

∴P（X＜10）＝P（X＝2）+P（X＝4）+P（X＝8）＝++＝．   故选：A．

【点评】求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．

9．李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如表：

x	1	2	3
P（ξ＝x）	！	？	！

请小王同学计算ξ的数学期望．尽管“？”处完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同．据此，小王给出了Eξ的正确答案为（　　）

A． B．2 C．7 D．

【解答】解：根据题意设两个“！”都为x，则“？”为1﹣2x，

根据概率分布列得出数学期望E（ξ）＝1•x+2•（1﹣2x）+3x＝2﹣4x+4x＝2，   故选：B．

【点评】本题考察了概率分布列的概念，离散型的数学期望的计算方法，属于中档题，大胆的表示即可得出答案．

10．设某地区历史上从某次特大洪水发生以后，在30年内发生特大洪水的概率是0.8，在40年内发生特大洪水的概率是0.85．现该地区已无特大洪水过去了30年，在未来10年内该地区将发生特大洪水的概率是（　　）

A．0.25 B．0.30 C．0.35 D．0.40

【解答】解：设“在30年内发生特大洪水”为事件A，

“在40年内发生特大洪水”为事件B，

“在未来10年内该地区将发生特大洪水”为事件C，

∴在未来10年内该地区将发生特大洪水的概率：

P（C）＝＝＝＝＝0.25，  故选：A．

【点评】本题考查了相互独立事件，相互独立事件表示的是几个概率同时发不发生互不影响，比方说明天下不下雨和明天底部地震没有关系，他们发不发生互不影响．满足这种条件的事件就叫做相互独立事件．A、B个两个独立概率事件同时发生的概率为：P（A•B）＝P（A）•P（B）．

1．设随机变量X∽N（1，σ²），其正态分布密度曲线如图所示，且P（X＞2）＝0.027，那么向正方形OABC中随机投掷1000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（　　）

 

A．473 B．527 C．554 D．628

【分析】直接利用几何概型和正态分布的应用求出结果．

【解答】解：随机变量X∽N（1，σ²），其正态分布密度曲线如图所示，且P（X＞2）＝0.027，

所以：布密度曲线关于x＝1对称．

所以P（x＜0）＝P（x＞2）＝0.027，

所以＝0.473，

利用几何概型的比例关系，，   解得x＝527．

故选：B．

【点评】本题考查的知识要点：正态分布的应用，几何概型的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

12．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是　　．

【分析】先确定摸一次中奖的概率，4个人摸奖，相当于发生4次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果．

【解答】解：由题意知首先做出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有C₆²＝15种结果，

两个球的号码之积是4的倍数，共有（1，4）（3，4），（2，4）（2，6）（4，5）（4，6）

∴摸一次中奖的概率是＝，

4个人摸奖，相当于发生4次试验，且每一次发生的概率是，

∴有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是＝．   故答案为：．

【点评】本题考点是n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖4次，相当于做了4次独立重复试验，利用公式做出结果．

13．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立．则甲队获胜的概率为　　．

【分析】甲队获胜有三种情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率，累加即可．

【解答】解：甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，

①3：0时，概率为P₁＝（）³＝；

②3：1，概率为P₂＝（）²×（1﹣）×＝；

③3：2，概率为P₃＝（）²×（1﹣）²×＝，

∴甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率：，，，

故甲队获胜的概率是：++＝，   故答案为：．

【点评】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，是一道基础题．

14．一口袋内装有5个黄球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数ξ是一个随机变量，则P（ξ＝12）＝　　．（填算式）

【分析】若ξ＝12，则取12次停止，第12次取出的是红球，前11次中有9次是红球，先考虑哪9次取红球，有C₁₁⁹种选择，又因为有10次取得是红球，乘以取红球的概率的10次方，还有2次取的是黄球，乘以取黄球的概率的平方．

【解答】解：若ξ＝12，则取12次停止，第12次取出的是红球，前11次中有9次是红球，

∴P（ξ＝12）＝C₁₁⁹（）⁹×（）²×＝                                                    

故答案为

【点评】本题考查了n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率．

15．已知抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量X＝“|a﹣b|的取值”，则X的均值EX为　　．

【分析】对称轴在y轴的左侧时，a与b同号，故可求满足条件的抛物线有126条，故可求相应的“|a﹣b|的取值”的概率，进而得到均值EX．

【解答】解：因为抛物线对称轴在y轴左侧，所以 b与a同符号，且 a≠0，b≠0；

所有满足的抛物线总数有

3×3×2×7＝126个

|a﹣b|可能取值有0，1，2

X＝0时有6×7＝42个  P（X＝0）＝

X＝1时有4×2×7＝56个   P（X＝1）＝

X＝2时有4×7＝28个    P（X＝2）＝

故EX＝0×+1×+2×＝           故答案为

【点评】本题以抛物线为载体，考查概率知识的运用，解题的关键是求出基本事件的个数．

16．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B．则P（A|B）的值是　　．

 

【解答】从这20名学生中随机抽取一人，基本事件总数为20个．

将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A，

则事件A包含的基本事件有10，故P（A）＝；

“抽出学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B，

则事件B包含的基本事件有9，P（B）＝，

故事件AB包含的基本事件有5，故P（AB）＝，

故P（A|B）＝＝．      故答案为：．

【点评】本题考查读茎叶图，考查概率的计算，考查条件概率，考查学生的计算能力，属于中档题．

17．盒子里装有6件包装完全相同的产品，已知其中有2件次品，其余4件是合格品．为了找到2件次品，只好将盒子里的这些产品包装随机打开检查，直到两件次品被全部检查或推断出来为止．

（1）求经过3次品检查才将两件次品检查出来的概率；

（2）求两件次品被全部检查或推断出来所需检查次数恰为4次的概率．

【分析】（1）经过3次检查才将两件次品检查出来，说明第三次一定是次品，前两次是一件次品，一件正品．6件任意取3件的可能性为6×5×4＝120，三次查出两件次品，且第三次一定是次品的可能性为16，由此能求出结果．

（2）经过3次检查才将两件次品检查出来，说明第三次一定是次品，前两次是一件次品，一件正品．6件任意取3件的可能性为6×5×4＝120．四次检查出两件次品，且第四次一定是次品的可能性为72．由此能求出结果

【解答】解：（1）经过3次检查才将两件次品检查出来，

说明第三次一定是次品，前两次是一件次品，一件正品．

6件任意取3件的可能性为6×5×4＝120，

三次查出两件次品，且第三次一定是次品的可能性为4×2×1+2×4×1＝16

概率为＝．

（2）经过3次检查才将两件次品检查出来，

说明第三次一定是次品，前两次是一件次品，一件正品．

6件任意取3件的可能性为6×5×4＝120．

四次检查出两件次品，

且第四次一定是次品的可能性为4×3×2×1+4×2×3×1+2×4×3×1＝72．

概率为0＝0.6．

【点评】本题考查独概率的求法和应用，考查恰有4次检查出结果表示的意义，这是一个易错题，易错点就是恰有几次观察出表示最后一次一定是一个要找的事物．

18．某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测评，该班的A、B两个小组所有同学所得分数（百分制）的茎叶图如图所示，其中B组一同学的分数已被污损，但知道B组学生的平均分比A组学生的平均分高1分．

（Ⅰ）若在A，B两组学生中各随机选1人，求其得分均超过86分的概率；

（Ⅱ）若校团委会在该班A，B两组学生得分超过80分的同学中随机挑选3人参加下一轮的参观学习活动，设B组中得分超过85分的同学被选中的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

 

【分析】（Ⅰ）根据平均分计算公式A组学生的平均分为＝85，

由＝86．求解方程即可得出x的值．

（II）根据题意确定ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，运用概率公式求解P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，

列出分布列即可，求解数学期望．

【解答】解：（I）A组学生的平均分为＝85，

∴B组学生的平均分86分，设被污损的分数为x，∴x＝88，

故B组学生的分数为93，91，88，83，75，

则A，B两组学生中个随机选一人的得分均超过86分的概率P＝×＝．

（II）B组中超过85分的同学有3人，

故ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，

则P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，

 

∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P

故ξ的思想期望E（ξ）＝0×＝

【点评】本题考查了实际问题中的概率问题，离散型的概率的求解，分布列，数学期望，关键是仔细阅读题意，弄清事件的分类，再求解．

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