初二下册数学二次根式知识点

【知识回顾】
1.二次根式：式子 （ ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：
（1）（ ）2= （ ≥0）； （2）
5.二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
= • （a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）．
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
【典型例题】
1、概念与性质
例1下列各式1） ，
其中是二次根式的是_________（填序号）．
例2、求下列二次根式中字母的取值范围
（1） ；（2）
例3、 在根式1) ，最简二次根式是（ ）
A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
例4、已知：
例5、 （2009龙岩）已知数a，b，若 =b－a，则 ( )
A. a>b B. a
2、二次根式的化简与计算
例1. 将 根号外的a移到根号内，得 ( )
A. ； B. － ； C. － ； D.
例2. 把（a－b）－1a－b 化成最简二次根式
例3、计算：
例4、先化简，再求值：
，其中a= ，b= ．
例5、如图，实数 、 在数轴上的位置，化简 ：
4、比较数值
（1）、根式变形法
当 时，①如果 ，则 ；②如果 ，则 。
例1、比较 与 的大小。
（2）、平方法
当 时，①如果 ，则 ；②如果 ，则 。
例2、比较 与 的大小。
（3）、分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
例3、比较 与 的大小。
（4）、分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
例4、比较 与 的大小。
（5）、倒数法
例5、比较 与 的大小。
（6）、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
例6、比较 与 的大小。
（7）、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质：
① ；②
例7、比较 与 的大小。
（8）、求商比较法
它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：
① ； ②
例8、比较 与 的大小。
5、规律性问题
例1. 观察下列各式及其验证过程：
， 验证： ；
验证: .
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程.