2021届高考理科数学二轮微专题精准攻关：专题03 函数及其表示（含解析）

2021届高考理科数学二轮微专题精准攻关

专题03 函数及其表示

1.[2021湖北六校联考]函数f(x)=的定义域为 (　　)

A.[,1)∪(1,+∞) B.[,2)

C.[,1)∪(1,2) D.(0,2)

2.[2021江苏无锡模拟]若函数f(x²+1)的定义域为[-1,1],则f(lg x)的定义域为 (　　)

A.[-1,1] B.[1,2]

C.[10,100] D.[0,lg 2]

3.[2021四川省棠湖中学模拟]若函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围是 (　　)

A.(0,2) B.[0,2]

C.(0,2] D.[0,2)

4.[2021福建师大附中模拟]函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是 (　　)

A.(-∞,-1) B.[,1]

C.[-1,) D.(0,)

5.[2021四川省新津中学模拟]已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)= (　　)

A.- B.-

C.- D.-

6.[2021天津南开中学月考]若函数f(x)=(a>0,a≠1)的最大值是4,则a的取值范围是 (　　)

A.(0,1)∪(1,2] B.(0,1)∪(1,]

C.(0,1) D.(0,1)∪(1,]

7.[2021贵阳市四校第二次联考]设函数f(x)=则满足f(x+1)<2的x的取值范围为(　　)

A.(-4,3) B.(-5,2)

C.(-3,4) D.(-∞,-3)∪(4,+∞)

8.[2021湖北省四地七校联考] 已知f(x)=则f(f(-2))=　　　　. 

9.[2021四川省遂宁市零诊]函数f(x)=的值域为　　　　. 

10.[递进型]已知a>0且a≠1,函数f(x)=若f(2)=8,则实数a的值为　　　　,f(-3)=　　　　. 

11.已知函数f(x)=g(x)=ax²+x,f()+f(-)=10,g(f(-2))=30,则a的值为　　　　. 

12.[2021湖北百校联考]已知函数f(x)=若f(2a)>f(6-a),则a的取值范围是　　　　. 

13.[2020武汉市模拟]设函数f(x)=则满足2f(f(a))=f(a)的a的取值范围是 (　　)

A.(-∞,0] B.[0,2]

C.[2,+∞) D.(-∞,0]∪[2,+∞)

14.[2020济南市4月模拟]已知符号函数sgn(x)=下列说法错误的是 (　　)

A.函数y=sgn(x)是奇函数

B.对任意的x>1,sgn(ln x)=1

C.函数y=e^x·sgn(-x)的值域为(-∞,1)

D.对任意的x∈R,|x|=x·sgn(x)

15.[易错题]已知函数f(x)= 若不等式a≤f(x)≤b的解集恰好为[a,b],则b-a=　　　　　. 

答  案

1.C　要使函数f(x)=有意义,则⇒故函数的定义域为[,1)∪(1,2).故选C.

2.C　因为f(x²+1)的定义域为[-1,1],则-1≤x≤1,故0≤x²≤1,所以1≤x²+1≤2.因为f(x²+1)与f(lg x)是同一个对应法则,所以1≤lg x≤2,即10≤x≤100,所以函数f(lg x)的定义域为[10,100].故选C.

3.D　由题意可知,当x∈R时,不等式ax²-2ax+2>0恒成立.

①当a=0时,ax²-2ax+2=2>0显然成立,故a=0符合题意;

②当a≠0时,要想x∈R时,不等式ax²-2ax+2>0恒成立,

只需满足a>0且(-2a)²-4·a·2<0成立即可,解得0<a<2.

综上可得,实数a的取值范围是[0,2).故选D.

4.C　因为函数f(x)=的值域为R,所以 解得-1≤a<,故选C.

5.A　因为f(a)=-3,所以或解得a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2^-1-1-2=-. 故选A.

6.C　当x>2时,若a>1,则函数f(x)=1+log_ax单调递增,没有最大值,因此必有0<a<1,此时f(x)=1+log_ax满足f(x)<1+log_a2.当x≤2时,f(x)=x+2的最大值是4.因此有1+log_a2≤4,解得0<a≤,故0<a<1.故选C.

7.B　解法一　当x≥-1时,f(x+1)<2等价于log₂[(x+1)+1]<2=log₂4,即x+2<4,解得-1≤x<2;当x<-1时,f(x+1)<2等价于<2,解得-5<x<-1.综上,使得f(x+1)<2的x的取值范围是(-5,2),故选B.

解法二　作出函数f(x)的图象及直线y=2,如图D 2-1-2所示,令f(x)=2,解得x=-4或x=3,由图象可知,f(x+1)<2等价于-4<x+1<3,解得-5<x<2,所以满足f(x+1)<2的x的取值范围为(-5,2),故选B.

图D 2-1-2

解法三　当x=2时,f(x+1)=f(3)=2,不满足不等式,排除A,C,当x=0时,f(x+1)=f(1)=1,满足不等式,排除D,故选B.

8.14　因为f(x)=所以f(-2)=(-2)²=4,所以f(f(-2))=f(4)=2⁴-2=16-2=14.

9.(0,+∞)　当x<1时,f(x)=x²-x+1=(x-)²+≥;当x>1时,f(x)=∈(0,1).综上可得,f(x)=的值域为(0,+∞).

10.3　2　由题意知f(2)=a²-1=8,即a²=9,又a>0,所以a=3,所以f(-3)=f(-1)=f(1)=3-1=2.

11.1　f()=m+3,f(-)=f()=m+3,所以f()+f(-)=m+3+m+3=2m+6=10,解得m=2,所以f(x)=f(-2)=f(1)=5,所以g(f(-2))=g(5)=25a+5=30,解得a=1.

12.(2,+∞)　当x≥0时,f(x)=2x²+x=2(x+)²-≥0,且f(x)在[0,+∞)上单调递增;当x<0时, f(x)=e^x-1<0,且f(x)在(-∞,0)上单调递增.因为f(0)=0,所以f(x)在R上单调递增,所以2a>6-a,故a>2.

13.D　因为2f(f(a))=f(a),所以f(f(a))=.

①当a<1时,f(a)=()^a,要使f(f(a))=,必有()^a≥1,即a≤0;

②当a≥1时,f(a)=,要使f(f(a))=,必有≥1,即a≥2.

综上,实数a的取值范围是(-∞,0]∪[2,+∞).故选D.

14.C　画出函数y=sgn(x)的图象(图略),由图象可知函数是奇函数,因此选项A正确;当x>1时,ln x>0,故sgn(ln x)=1,因此选项B正确;当x>0时,y=e^x·sgn(-x)=-e^x<-1,当x=0时,y=e^x·0=0,当x<0时,0<y=e^x·sgn(-x)=e^x<1,所以y=e^x·sgn(-x)的值域为(-∞,-1)∪[0,1),因此选项C错误;对于D选项,当x>0时,|x|=x,x·sgn(x)=x·1=x,故|x|=x·sgn(x),当x=0时,|x|=0,x·sgn(x)=x·0=0,故|x|=x·sgn(x),当x<0时,|x|=-x,x·sgn(x)=x·(-1)=-x,故|x|=x·sgn(x),所以对于任意的x∈R,|x|=x·sgn(x)恒成立,因此选项D正确.故选C.

15.4　由函数f(x)的解析式知,函数f(x)在(-∞,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增, f(x)_min=f(2)=1.若a>1,则不等式a≤f(x)≤b的解集为[x₁,x₂]∪[x₃,x₄]的形式,不符合题意,所以a≤1,此时因为2^2-1=2,所以b≥2,令m²-3m+4=m,解得m=(舍去)或m=4,取b=4,令2^2-x=4,得x=0,所以a=0,所以b-a=4.